त्रिघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए

Haryana State Board Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 2 बहुपद परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न : प्रश्न 1. रैखिक बहुपद y = 2x + 3 का आलेखीय निरूपण कीजिए तथा इसके शून्यक का मान लिखिए । हल : यदि x = – 2 तो y = 2 (-2) + 3 = – 4 + 3 = – 1 यदि x = 2 तो y = 2(-2) + 3 = – 4 + 3 = – 1 x – 2 2 Y = 2x + 3 – 1 7 ग्राफ पेपर पर A (- 2, – 1) तथा B (2, 7) लेकर उन्हें मिलाइए जिससे y = 2x + 3 का आलेखीय निरूपण प्राप्त होगा ग्राफ से पता चलता है कि सरल रेखा x-अक्ष को \(\frac \) व 1 होगा ? (A) 3x 3 + 5x 2– 11x – 3 (B) 3x 3– 5x 2– 11x – 3 (C) 3x 3 + 5x 2 + 11x – 3 (D) 3x 3 + 5x 2 + 11x + 3 हल : (B) 3x 3– 5x 2– 11x – 3 प्रश्न 58. निम्नलिखित में से किस त्रिघात बहुपद के दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग – 7 होगा ? (A) 2x 3 + 5x 2 + 14x + 8 (B) 2x 3– 5x 2 + 14x – 8 (C) 2x 3– 5x 2– 14x + 8 (D) 2x 3– 5x 2 + 14x + 8 हल : (C) 2x 3– 5x 2– 14x + 8 Post navigation

सवाल: द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए? किसी बहूपद के चर 𝑥 की घात का मान 2 हो, उसे द्विघात बहुपद कहते हैं। उदाहरण : 𝑥2 +9 हम 𝑥2-- 9 द्विघात बहुपद का शुन्यक ज्ञात कर करते है। हमें पता है कि a2-b2 =(a + b)(a - b) तो 𝑥2 - 9 = ( 𝑥 + 3) (𝑥 - 3) इसलिए 𝑥2 - 9 का मान शुन्य है जब𝑥 = 3 हो या x = - 3 अत: 𝑥2 - 9का शुन्य मान -3 व 3 हैं।

(i) क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता, इसलिए यहाँ पर कोई शून्यक नहीं हैl (ii) शून्यक की संख्या 1 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता हैl (iii) शून्यक की संख्या 3 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल 3 बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता हैl (iv) शून्यक की संख्या 2 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल 2 बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता हैl (v) शून्यक की संख्या 4 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल 4 बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता हैl (vi) शून्यक की संख्या 3 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल 3 बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता हैl

2 बहुपद 2.1 भूमिका कक्षा IX में, आपने एक चर वाले बहुप दों (polynomials) एवं उनकी घातों (degree) के बारे में अध्ययन किया है। याद कीजिए कि चर x के बहुपद p ( x ) में x की उच्चतम घात (power) बहुपद की घात (degree) कहलाती है। उदाहरण के लिए, 4 x + 2 चर x में घात 1 का बहुप द है, 2 y 2 – 3 y + 4 चर y में घात 2 का बहुपद है, 5 x 3 – 4 x 2 + x – चर x में घात 3 का बहुपद है और 7 u 6 – चर u में घात 6 का बहुपद है। व्यंजक इत्यादि बहुपद नहीं हैं। घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद (linear polynomial) कहते हैं। उदाहरण के लिए, 2 x – 3, , इत्यादि सभी रैखिक बहुपद हैं। जबकि 2 x + 5 – x 2 , x 3 + 1, आदि प्रकार के बहुपद रैखिक ब हुपद नहीं हैं। घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) कहते हैं । द्विघात (quadratic) शब्द क्वाड्रेट (quadrate) शब्द से बना है, जिसका अर्थ है ‘वर्ग ’। द्विघात बहुपदों के कुछ उदाहरण हैं (जिनके गुणांक वास्तविकसंख्याएँ हैं) । अधिक व्यापक रूप में, x में कोई द्विघात बहुपद ax 2 + bx + c , जहाँ a , b , c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है, के प्रकार का होता है। घात 3 का बहुपद त्रिघात बहुपद (cubic polynomial) कहलाता है। त्रिघात बहु पद के कुछ उदाहरण हैं: 2 – x 3 , x 3 , 3 – x 2 + x 3 , 3 x 3 – 2 x 2 + x – 1 वास्तव में, त्रिघात बहुपद का सबसे व्यापक रूप है: ax 3 + bx 2 + cx + d , जहाँ a , b , c , d वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है। अब बहुपद p ( x ) = x 2 – 3 x – 4 पर विचार कीजिए। इस बहुपद में x = 2 रखने पर हम p (2) = 2 2 – 3 × 2 – 4 = – 6 पाते हैं। x 2 – 3 x – 4 में, x को 2 से प्रतिस्थापित क रने से प्राप्त मान ‘-6’, x 2 – 3 x – 4 का x = 2 पर मान कहलाता है। इसी प्रकार p (0), ...

हल- दिये गये बहुपद की बहुपद ax 3 + bx 2 + cx + d के साथ तुलना करने पर, a = 2, b = 1, c = -5 तथा d = 2 तथा दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग = αβ + βγ + γα तथा शून्यकों का गुणनफल = αβγ ∴ बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है। (ii) x 3– 4x 2 + 5x – 2; 2, 1, 1 हल- दिये हुए बहुपद की ‘बहुपद ax 3 + bx 2 + cx + d के साथ तुलना करने पर, a = 1, b = -4, c = 5 तथा d = -2 p(2) = (2) 3– 4(2) 2 + 5(2) – 2 = 8 – 16 + 10 – 2 = 0 अतः 2 बहुपद p(x) का शून्यक है। p(1) = (1) 3– 4(1) 2 + 5(1) – 2 = 1 – 4 + 5 – 2 = 0 अर्थात् 2, 1 तथा 1 बहुपद x 3– 4x 2 + 5x – 2 के शून्यक हैं। अतः, α = 2, β = 1 तथा γ = 1 इस प्रकार शून्यकों का योग = α + β + γ ∵ शून्यकों 2, 1, 1 से प्राप्त योगफल व गुणनफल भी यही है। अतः बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य है। प्रश्न 2. एक विधात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7 व -14 हों। हल- माना कि त्रिघात बहुपदं ax 3 + bx 2 + cx + d है तथा इसके शून्यक α, β तथा γ हैं। तब शून्यकों का योग = α + β + γ यदि a = 1 और b = -2, c = -7 तथा d = 14 है। इस प्रकार बहुपद x 3– 2x 2– 7x + 14 बना। प्रश्न 3. प्रश्न 4. यदि बहुपद x 4– 6x 3– 26x 2 + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए। हल- ∵ बहुपद p(x) = x 4– 6x 3– 26x 2 + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हैं। इसलिए, x = 2 ± √3 ⇒ x – 2 = ±√3 दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, x 2– 4x + 4 = 3 ⇒ x 2– 4x + 1 = 0 अब x 2 – 4x + 1 से बहुपद p(x) को भाग देने पर ताकि अन्य शून्यक प्राप्त हो सकें। विभाजन ए...

हेलो दोस्तों यहां पर प्रश्न है कि एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके सुनी 14 और -1 होती तो यहां से निकली मान लीजिए अपनी दुकानों पर लिखे तो कोई एक्स एक्स स्क्वायर प्लस बी एक्स प्लस सी तो यहां से मैं पता है कि आज 800 कुमार लीजिए अल्फा बीटा है ठीक तो यहां से अल्फा प्लस बीटा क्या होता है यह बता माइनस बी बटाए और यहां पर हमें क्या दिया हुआ तूने किया हुआ है तो यहां से क्या हो जाएगा यह हो जाएगा हमारा 4 प्लस माइनस 1 ली हो जाएगा तीन तो यहां से किसके बराबर है बी माइनस बी बताइएगा तो यहां से देखें और अल्फा बीटा क्या होता है हमारा सी बटाए और यह हमारा कितना मजा आएगा यह हो जाएगा हमारा - का 41 तो यहां से लेकर 4 बटा एक इसको लिख सकते हैं तो यहां सागर तुलना करें तो यह तो एक आ जाएगा अभी कितना हो जाएगा - का 380 - का चार्ट तैयार से हमारे घर में क्या बनेगा यह हो जाएगा एक्स स्क्वायर माइनस का 3 एक्स माइनस का चार यह हो जाएगा हमारा