140 का अभाज्य गुणनखंड

किसी वस्तु (जैसे – संख्या, बहुपद या मैट्रिक्स) को अन्य वस्तुओं के गुणनफल (product) के रूप में तोडने की क्रिया को गणित में गुणनखण्ड (factorization या factorisation) कहते हैं। किसी वस्तु के गुणनखण्डों को परस्पर गुणा करने पर वह मूल वस्तु पुनः प्राप्त हो जाती है। x2 − 4 = (x − 2) (x + 2). Table of Contents • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 12 का गुणनखंड क्या है? इसलिए हम यह कह सकते हैं 12 के गुणनखंड हैं 1, 2, 3, 4, 6, तथा 12 । गुणनखंड किसे कहते हैं ? 36 का गुणनखंड क्या होगा? उदाहरण 2 : 36 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए। : 36 = 1 x 36 36 = 2 x 18 36 = 3 x 12 36 = 4×9 36 = 6×6 यहाँ रुक जाइए, क्योंकि दोनों गुणनखंड (6) समान हैं। इस प्रकार, वांछित गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36 हैं। गुणनखंड कैसे निकालते हैं? मान लीजिए यह संख्या 30 है। हम इसे अन्य प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखते हैं, जैसे 30 = 2 x 15 हम जानते हैं कि 30 को इस रूप में भी लिखा जा सकता है : =3x 10 = 5×6 30 = 1×30 इस प्रकार 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30 इस प्रकार, 1 और 30 भी 30 के गुणनखंड हैं। आप देखेंगे संख्या 30 के गुणनखंड हैं। इन्हें भी पढ़ें:- 15 का गुणनखंड क्या है? हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है। 15 और 37 का सार्व गुणनखंड सिर्फ 1 है। इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ है। च कौन सी संख्या सभी संख्याओं का गुणनखंड है? जब हम दो संख्याओं का गुणा करते हैं, तो हमें एक गुणनफल प्राप्त होता है। उन संख्याओं में से प्रत्येक संख्या गुणनफल का गुणनखण्ड होती है। 3x4x5 = 60 अतः, 3, 4 तथा 5 में से प्रत्येक 60 का गुणनखण्ड है। 2 x 3×4 =...

अभ्यास 1.1 Ex 1.1 Class 10 गणित प्र.1. युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये | (i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255 हल: (1) 135 और 225 a = 225, b = 135 HCF = 8 इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8 Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है | हल : दर्शाना है : a 2 = 3m or 3m + 1 a = bq + r माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3 तब a = 3q + r कुछ पूर्णांक के लिए q ≥ 0 इसलिए, a = 3q + 0 or 3q + 1 or 3q + 2 अब हम पाते है; ⇒ a 2 = (3q + 0) 2 or (3q + 1) 2 or (3q +2) 2 ⇒ a 2 = 9q 2 or 9q 2 + 6q + 1 or 9q 2 + 12q + 4 ⇒ a 2 = 9q 2 or 9q 2 + 6q + 1 or 9q 2 + 12q + 3 + 1 ⇒ a 2 = 3(3q 2) or 3(3q 2 + 2q) + 1 or 3(3q 2 + 4q + 1) + 1 यदि m = (3q 2) or (3q 2 + 2q) or (3q 2 + 4q + 1) हो तो हम पाते है कि ; a 2 = 3m or 3m + 1 or 3m + 1 Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है | हल: माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है; युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से; a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b b = 9 रखने पर a = 9q + r जहाँ; 0 ≤ r < 9 जब r = 0 हो; a = 9q + 0 = 9q a 3 = (9q) 3 = 9(81q 3) या 9m जहाँ m = 81q 3 जब r = 1 हो a = 9q + 1 a 3 = (9q + 1) 3 = 9(81q 3 + 27q 2 + 3q) + 1 = 9m + 1 जहाँ m = 81q 3 + 27q 2 + 3q जब r = 2 हो तो a = 9q + 2 a 3 = (9q + 2) 3 = 9(81q 3 + 54q 2 + 12q) + 8 = 9m + 2 जहाँ m = 81q 3 + 54q 2 + 12q...