Aparimey sankhya

Table of Contents • • • • • • अपरिमेय संख्या किसे कहते है? परिभाषा: वैसी वास्तिक संख्याएँ जिसे p/q के रूप नही लिखा जा सके, उसे अपरिमेय संख्या कहते है. अर्थात, वैसी संख्याएँ जिसे प्रमेय (Theorem) के अनुसार एक Aparimey Sankhya का दसमलव विस्तार न समाप्त होता है और न ही आवर्त होता है. अपरिमेय संख्याओं के बिच धनात्मक या ऋणात्मक चिन्हों का प्रयोग कर उसे अंश और हर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है. जैसे; (√2– √3)/ √5 अलजेब्रा फार्मूला चार्ट घन और घनमूल फार्मूला बहुपद के सूत्र चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूला साधारण ब्याज फार्मूला औसत का फार्मूला अपरिमेय संख्या कैसे पहचाने वैसी संख्या जो p / q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 को अपरिमेय संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है. जैसे; √2, √5, √7 आदि. जब कोई संख्या जो p / q के रूप में हो, p और q पूर्णांक हो. q ≠ 0 को एक अपरिमेय संख्या कहा जाता है. अपरिमेय संख्या हमेशा ( √ ) के रूप में होता है जिसका वर्गमूल नही निकलता है. अपरिमेय संख्या का सिंबल आमतौर पर अपरिमेय को व्यक्त करने के लिए “P” का प्रयोग किया जाता है. इसे प्रमेय के माध्यम से सिद्ध किया जा चूका है जिसका अध्ययन क्लास 11th और 12th में कराया जाता है. इसका उपयोग किसी अन्य संख्या के ऋणात्मक अपरिमेय संख्या का लिस्ट गणितीय संख्या में कई ऐसे संख्या है जो सदैव अपरिमेय संख्या होते है. जैसे; π, √2 आदि. लेकिन सभी Aparimey Sankhya नही होते है. इसलिए, यहाँ वैसे संख्याओं को चिन्हित किया गया है जो अपरिमेय है. π (पाई) 3.141592653….. e (Euler’s Number) 2.71828182…… φ (Golden ratio) 1.61803398 √2, √3, √5, √7, √8 मान ज्ञात किया जा सकता है अवश्य पढ़े, • • • • • अपरि...

विषयसूची (Table of Contents) • • • • • • • • • Irrational number ko hindi mein kya kahate hain Irrational number meaning in hindi की बात करे तो Irrational number का मतलब हिंदी में “अपरिमेय संख्या” होता है। अपरिमेय संख्या किसे कहते हैं (Aparimey Sankhya Kise Kahate Hain) वैसी संख्या जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सके अपरिमेय संख्या कहते है जहाँ p और q दोनों पूर्णांक है और q कभी भी शून्य ना हो। आसान शब्दों में कहे तो जो संख्या परिमेय संख्या नहीं है वह अपरिमेय संख्या होता है। अन्य शब्दों में कहे तो अपरिमेय संख्या एक ऐसी संख्या होती है जिन्हें हम भिन्न यानि fraction के रूप में नहीं लिख सकते है यानि p/q के रूप में नहीं लिख सकते है, जहाँ p और q दोनों पूर्णांक हो और q कभी भी शून्य ना हो। हमारे साथ Telegram पर जुड़े अपरिमेय संख्या के उदाहरण (Irrational Number Examples) √2, √3, √5, √11, √15, √21, √27, √35, √51, π( ऊपर दिए गए अपरिमेय संख्या के उदाहरण में से किसी भी संख्या का पूर्ण वर्गमूल नहीं है और ना ही इन संख्याओ को p/q के रूप में लिखा जा सकता है अत: ये सभी संख्या अपरिमेय संख्या के उदाहरण है। आपको बता दे की π (पाई) दुनिया में सबसे प्रसिद्ध परिमेय संख्या है इसके साथ ही यूलर संख्या (e) और गोल्डन अनुपात (Φ) भी अपरिमेय संख्या के उदाहरण है। यह भी पढ़े: दोस्तों जैसा की अभी हमने अपरिमेय संख्या के बारे में जाना ऐसा ही यदि आप परिमेय संख्या, प्राकृतिक संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णांक संख्या, वास्तविक संख्या, सम संख्या, विषम संख्या, भाज्य संख्या, अभाज्य संख्या आदि के बारे में पूरी जानकारी जानना चाहते है तो • • • • अपरिमेय संख्याओं के गुणधर्म (Properties of Irrational Numbers) पाई (π) का म...

हमेशा परिमेय संख्याओं को p / q के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ q शून्य के बराबर कभी नहीं होता है. यह एक 6th, 7th, 8th, 9th, 10th और 12th में प्रश्नों को हल करने के लिए किया जाता है. इससे क्लास 10th में प्रश्न भी पूछे जाते है. गणितीय संख्या को जाँच करने एवं दसमलव स्वरुप में बदलने के लिए Parimey Sankhya के रूल्स के विषय में जानकारी अनिवार्य है. क्योंकि यह शांत और असांत प्रक्रियाओं पर निर्भर होता है. साथ ही, किसी संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं को दर्शाने के लिए उसे दशमलव रूप में सरलीकृत करना होता है. यहाँ Rational Numbers से सम्बंधित सभी महत्वपूर्ण तथ्य उपलब्ध है जो Table of Contents • • • • • परिमेय संख्या किसे कहते है? वैसी वास्तविक संख्याएँ जो p / q के अर्थात, हर और अंश के रूप में लिखी जाने वाली सभी संख्याएँ परिमेय संख्या कहलाती है. जहाँ केवल हर शून्य के बराबर न हो. स्पष्ट शब्दों में, एक दुसरें शब्दों में, वैसी संख्या जो p / q के रूप में लिखी जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हो तथा q ≠ 0 हो, उसे परिमेय संख्या कहते है. जैसे; 1/2, 2/3, 3/4 आदि. अलजेब्रा फार्मूला चार्ट घन और घनमूल फार्मूला बहुपद के सूत्र चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूला साधारण ब्याज फार्मूला औसत का फार्मूला परिमेय संख्या कैसे पहचाने गणित में परिमेय संख्या की पहचान करने की कुछ विशेष स्थति है, जिसका अनुमान केवल इसके परिभाषा को स्मरण करके ही किया जा सकता है. लेकिन यहाँ Rational Numbers की पहचान करने की विधि उपलब्ध है. जो इस प्रकार है. • संख्याएँ जो p / q के रूप में हो, जहाँ q ≠ 0 हो. • p / q के रूप वाले संख्याओं को हल करने पर दसमलव में संख्या प्राप्त हो. • भिन्न भी परिमेय संख्या होता है. जैसे; 4/5, 5/6, 6/7, 2.1, 3....

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Aparimey Sankhya Aur Aparimeyata परिचय अपरिमेय संख्या –वह संख्या जो p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकती हैं, अपरिमेय संख्या (Irrational Number) कहलाती है। जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0। अपरिमेय संख्याओं को T द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण –√2, √3, √5, π, आदि। इस भाग में, हम विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहा जाता है। यह वह तकनीक है, जिसमें हम गलत धारणा से अपरिमेयता को सिद्ध करते हैं। इससे पहले कि हम अपरिमेयता सिद्ध करें, एक प्रमेय है जिसका हमें अध्ययन करना है और जिसका प्रमाण अंकगणित के मौलिक प्रमेय पर आधारित है। अपरिमेयता पर आधारित प्रमेय प्रमेय 1) यदि p, a 2 को विभाजित करता है, तो p, a को भी विभाजित करेगा। जहाँ p एक अभाज्य संख्या है और a एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है। प्रमाण –चूँकि a एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है। मान लीजिए कि a का अभाज्य a = p 1×p 2×p 3…………….p n जहाँ p 1, p 2, p 3……p n अभाज्य संख्याएँ हैं (भिन्न या समान हो सकती हैं) इसलिए, a 2 = (p 1×p 2×p 3…………….p n)( p 1×p 2×p 3…………….p n) = p 1 2×p 2 2×p 3 2…………….p n 2 अब, यह दिया गया है कि p, a 2 को विभाजित करता है। अतः अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार, p, a 2 के अभाज्य गुणनखंडों में से एक होगा। लेकिन a 2 के अभाज्य गुणनखंड p 1,p 2,p 3,……p n हैं इसलिए p 1,p 2,p 3,……p n अभाज्य गुणनखंडों में से p एक है। चूँकि a = p 1×p 2×p 3 …….p n इसलिए, p, a को विभाजित करता है। इति सिद्धम प्रमेय 2) सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है। उपपत्ति – विरोधाभास का उपयोग करते हुए, माना √2 एक इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए हम लिख सकते हैं √2 = a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभ...

विषयसूची Show • • • • उत्तर- यदि सम्भव हो, तो माना √2 एक परिमेय संख्या है। तब मान √2 = m / n, H.C.F. (m, n) = 1, n≠ 0 ⇒ m = √2n ⇒ m2 = 2n2 ….(1) ⇒ 2n2 एक समपूर्णाक है। ⇒ m2 एक समपूर्णांक है। ⇒ m एक समपूर्णांक है। ....(A) = m = 2q, q∈ z ....(2) (1) व (2) से 4q2 = 2n2 ⇒ n2 = 2q2 ⇒ n2 एक समपूर्णांक है। ⇒ n एक समपूर्णांक है। ....(B) (A) तथा (B) ⇒ m तथा n दोनों ही समपूर्णांक है। ⇒ H.C.F. (m, n) # 1 अतः जो कि विरोधाभास है परिमेय होने का अतः √2 एक अपरिमेय संख्या है। Q.45: सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। Answer: उत्तर: सबसे पहले इसका उलटा मान लेते हैं; यानि मान लेते हैं कि √5 एक परिमेय संख्या है। ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b प्राइम होंगे, ताकि; √5= a/b या, b√5=a दोनों तरफ का वर्ग करने पर यह समीकरण मिलता है; 5b2 = a2 इसका मतलब है कि a2, 5 से डिविजिबल होगा और इसलिये a भी 5 से डिविजिबल होगा। लेकिन यह हमारी पहले के मान का विरोधी है कि a और b कोप्राइम हैं, क्योंकि हमें 5 के रूप में a और b का कम से कम एक कॉमन फैक्टर मिल गया है। यह हमारे पहले मानी हुई संभावना कि b√5 प्रमेय संख्या है का भी विरोधाभाषी है। इसलिए एक b√5 अप्रमेय संख्या है सिद्ध हुआ।