बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 प्रश्न 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए : (i) 2x 3 + x 2 - 5x + 2, \(\frac\) = 1 ⇒ a 2 - ab + a 2 + ab + a 2 - b 2 = 1 ⇒ 3a 2 - b 2 = 1 ⇒ 3(1) 2 - b 2 = 1 [∵ a = 1] ⇒ 3 - b 2 = 1 ⇒ b 2 = 2 ⇒ b = ±√2 अतः, a = 1 और b = ±√2 प्रश्न 4. यदि बहुपद x 4 - 6x 3 - 26x 2 + 138x - 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए। हल- ∵ बहुपद p(x) = x 4 - 6x 3 - 26x 2 + 138x - 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हैं। इसलिए, x = 2 ± √3 ⇒ x - 2 = ±√3 दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, x 2 - 4x + 4 = 3 ⇒ x 2 - 4x + 1 = 0 अब x 2 - 4x + 1 से बहुपद p(x) को भाग देने पर ताकि अन्य शून्यक प्राप्त हो सकें। विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर ∴ p(x) = x 4 - 6x 3 - 26x 2 + 138x - 35 = (x 2 - 4x + 1) (x 2 - 2x - 35) = (x 2 - 4x + 1) (x - 7x + 5x - 35) = (x 2 - 4x + 1) [x(x - 7) + 5(x - 7)] = (x 2 - 4x + 1) (x + 5) (x - 7) = (x + 5) तथा (x - 7) अन्य गुणनखण्ड होंगे। अतः -5 तथा 7 अन्य शून्यक होंगे। प्रश्न 5. यदि बहुपद x 4 - 6x 3 + 16x 2 - 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x 2 - 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए। हल- बहुपद x 4 - 6x 3 + 16x 2 - 25x + 10 को बहुपद x 2 - 2x + k से भाग देने पर ∴ शेषफल = (2k - 9) x - (8 - k) k + 10 परन्तु शेषफल = x + a इसलिए, गुणांकों की तुलना करने पर 2k - 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5 तथा -(8 - k) k + 10 = a a = -(8 - 5)5 + 10 = -3 × 5 + 10 = -15 + 10 = -5 अतः, k = 5 तथा a...

चूँकि हम जानते हैं कि जब बहुपद का मान शून्य हो जाता है तभी बहुपद का शून्यक ज्ञात कर सकते हैं । ∴ p ( x ) = 0 अतः 2 x + 1 = 0 ⇒ 2 x = − 1 ⇒ x = − 1 2 अतः 1 2 , बहुपद 2 x + 1 का एक शून्यक है । अब यदि p ( x ) = a x + b , a ≠ 0 एक रैखिक बहुपद हो , तो हम इस p ( x ) का शून्यक किस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं ? उदाहरण 4 से आपको इसका कुछ संकेत मिल सकता है । बहुपद का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p ( x ) = 0 को हल करना । अब p ( x ) = 0 का अर्थ है । a x + b = 0 , a ≠ 0 अतः a x = − b अर्थात x = − b a अतः x = − b a ही केवल का शून्यक है अर्थात रैखिक बहुपद का एक और केवल एक शून्यक होता है । अब हम यह कह सकते हैं कि 3, x- 3 का केवल एक शून्यक हैं और − 4 , x + 4 का केवल एक शून्यक है । हेलो दोस्तों लिखित प्रश्न हमसे कह रहा है कि पी एक्स = दिया हुआ 2 एक्स प्लस 1 इसका 0 ज्ञात कीजिए कि जब भी कोई बहु पाद दिया होगा क्या होता जिसमें से 4 या चार हुआ सर पद होंगे ठीक है या कौन सेंटर में अकाउंट का समय शंकर के कथन मतलब युवक पर लिखा हुआ होता है कोई ऐसे एक्स क्यूब प्लस एक्स स्क्वायर प्लस टू एक्स प्लस वन यह भी ग्रुप हो गया एक्स क्यूब दो चर वाले कपूर एक्स स्क्वायर प्लस 5 स्क्वायर प्लस टू एक्स प्लस वन यह भी बहुत हो जाते हैं और चर्चे होते हैं चार होते हैं एक्स वाई जेड टाइप के का खा गा टाइप के कोई भी चार हो सकता है जिसका मन बदल रहा है वह कौन से नवनियट 92123 ऐसी कोई नया संख्या ना हो तो वह जाते हैं पश्चात यह भी तो बहुत ही लिखा हुआ है इसमें क्या है एसपी घातक है और इसमें कितना 1 * 10 एक्स जीरो का मान एक होता है ठीक है कोई संख्या लिख भी तो उसको हम बहुत के टाइम में लिख सकते जैसे दो लिखा हुआ तुझको 2 * 10 में ...

आप एक चर वाले बहुपदो (polynomial in Hindi) उनके घातों (degree) के बारे में जानते होंगे। याद कीजिए कि चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात (power) बहुपद की घात (degree) कहलाती है। उदाहरण के लिए 4x² + 2 चर x में घात 1 का बहुपद है , 2y² – 3y + 4 चर y में घात 2 का बहुपद है , 5x³ – 4x² + x – √2 चर x में घात 3 का बहुपद है और 7u⁶ – 3/2u⁴ + 4u² + u – 8 चर u में घात 6 का बहुपद है। आगे हम जानेंगे कि बहुपद के कितने प्रकार होते हैं और उसके प्रकारों के बारे में अध्ययन करेंगे आपको इसके बारे में जानकर बेहद रूचि होगी क्योंकि इसे ध्यान से संबंधित बहुत सारी प्रश्न न ही केवल स्कूल परीक्षा में सरकारी नौकरी जैसे SSC CHSL , SSC CGL , NDA CDS और CAT आदि परीक्षा में पूछा जाता है। बहुपद की परिभाषा | Definition of polynomial : Table of Contents • • • • • • गणित में बहुपद एक समीकरण जिसमें दो से अधिक बीजगणितीय शब्द (algebraic terms) होते हैं , विशेष रूप से कई शब्दों का योग जिसमें एक ही चर (variables) की अलग- अलग घात (power) होती हैं। उदाहरण के लिए – 4x² + 6x + 3 , x⁴ + 2x³ + 3x² + 2 और 7x³ – 4x² + 2x -4 बहुपद के प्रकार | Types of Polynomial : बहुपद के तीन प्रकार होते है – 1) रैखिक बहुपद (linear polynomial) : रैखिक बहुपद में घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 2x – 3 , √3x + 5 , y + √2 , x – 2/11 , 3z + 4 , 2/3u + 1 , इत्यादि सभी रैखिक बहुपद है जबकि 2x + 5 – x² , x³ + 1 , आदि प्रकार के बहुपद रेखिक बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें घात 2 के और 3 के बहुपद है। 2) द्विघात बहुपद (Quadratic polynomial) : इसमें घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। द्विघात (quadratic) शब्द क्वाड्रेट शब्...

Punjab State Board PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 प्रश्न 1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x 2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए : (i) x = 0 (ii) x = – 1 (iii) x = 2 हल : (i) x = 0 पर बहुपद का मान है : मान लीजिए p(x) = 5x – 4x 2 + 3 p(0) = 5(0) – 4(0) 2 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 (ii) x = – 1 पर बहुपद का मान है : मान लीजिए p(x) = 5x – 4x 2 + 3 p(- 1) = 5 ( – 1) – 4 (- 1) 2 + 3 = – 5 – 4 + 3 = – 6 (iii) x = 2 पर बहुपद का मान है : मान लीजिए p(x) = 5x – 4x 2 + 3 p(2) = 5(2) – 4(2) 2 + 3 = 10 – 16 + 3 = 10 – 4 × 4 + 3 = – 3 प्रश्न 2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए P(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए : (i) P(y) = y 2– y + 1 (ii) p(t) = 2 + t + 2t 2– t 3 (iii) P(x) = x 3 (iv) p(x) = (x – 1) (x + 1) हल : (i) p(y) = y 2– y + 1 p(0) = (0) 2– 0 + 1 ⇒ p(0) = 1 p (1) = (1) 2– 1 + 1 ⇒ p(1) = 1 – 1 + 1 ⇒ p(1) = 1 p(2) = (2) 2– 2 +1 ⇒ p(2) = 4 – 2 + 1 ⇒ p(2) = 3 (ii) p(t) = 2 + t + 2t 2– t 3 p(0) = 2 + 0 + 2(0) 2– (0) 3 ⇒ p(0) = 2 + 0 + 0 – 0 ⇒ p(0) = 2 p(1) = 2 + 1 + 2(1) 2– (1) 3 ⇒ p(1) = 2 + 1 + 2 – 1 ⇒ p(1) = 4 p(2) = 2 + 2 + 2(2) 2– (2) 3 = 2 + 2 + 8 – 8 = 4 (iii) p(x) = x 3 p(0) = (0) 3 ⇒ p(0) = 0 p(1) = (1) 3 ⇒ p(1) = 1 p(2) = (2) 3 ⇒ p(2) = 8 (iv) p(x) = (x – 1) (x + 1) p(0) = (0 – 1) (0 + 1) ⇒ p(0) = (- 1) (1) ⇒ p(0) = – 1 p(1) = (1 – 1) (1 + 1) ⇒ p(1) = 0 × 2 ⇒ p(1) = 0 p(2) = (2 – 1) (2 + 1) ⇒ p(2) = 1 × 3 ⇒ p(2) = 3 प्रश्न 3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं : (i) p (x) = 3x + 1, x = (ii) p (x) = 5x – π, x = \(\fra...

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2.4 Textbook NCERT Class Class 10th Subject (गणित) Mathematics Chapter Chapter – 2 Chapter Name बहुपद (Polynomials) Mathematics Class 10th गणित Question & Answer Medium Hindi Source Last Doubt NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2.4 🌼 Chapter – 2🌼 ✍वास्तविक संख्याएँ✍ 🍁 प्रश्नावली 2.4🍁 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए: (i) 2x 3 + x 2 -5x+2; -1/2, 1, -2 (ii) x 3 -4x 2 +5x-2 ; 2, 1, 1 (i) 2x 3 + x 2 -5x+2; -1/2, 1, -2 हल: दिया गया है, p (x) = 2x 3 +x 2 -5x+2 और p(x) के लिए शून्यक हैं = 1/2, 1, -2 p (1/2) = 2(1/2) 3 +(1/2) 2 -5(1/2)+2 = (1/4)+(1/4)-(5/2)+2 = 0 p (1) = 2(1) 3 +( 1) 2 -5(1)+2 = 0 p (-2) = 2(-2) 3 +(-2) 2 -5(-2)+2 = 0 अत: सिद्ध 1/2, 1 – 2 2x 3 +x 2 -5x+2 के शून्यक हैं। अब, दिए गए बहुपद की सामान्य व्यंजक से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं; ∴ ax 3 +bx 2 +cx+d = 2x 3 +x 2 -5x+2 a=2, b=1, c= -5 और d = 2 जैसा कि हम जानते हैं, यदि α, β, घन बहुपद ax 3 +bx 2 +cx+d के शून्यक हैं, तो; α +β+γ = –b/a αβ+βγ+γα = c/a α βγ = – d/a. इसलिए, बहुपद के शून्यकों का मान रखने पर, α+β+γ = 1⁄2+1+(-2) = -1/2 = –b/a αβ+βγ+γα = (1/2× 1)+(1 ×-2)+(-2×1/2) = -5/2 = c/a α β = 1⁄2×1×(-2) = -2/2 = -d/ a इसलिए, शून्य और गुणांक के बीच संबंध संतुष्ट हैं। (ii) x 3 -4x 2 +5x-2 ; 2, 1, 1 हल: दिया गया है, p(x) = x 3 -4x 2 +5x-2 और p(x) के लिए शून्यक 2,1,1 हैं। ...

Table of Contents • • • • • • • • • • • • • • • • बहुपद किसे कहते हैं प्रारंभिक बीजगणित में धन (+) और ऋण (-) चिह्नों से संबंद्ध कई पदों के व्यंजक को बहुपद कहते हैं। अर्थात चर, अचर, चर के गुणांक तथा ऋणेतर घातांक के जोड़, घटाव या गुणन की क्रिया वाले बीजगणितीय व्यंजक को बहुपद कहा जाता हैं। a + a₁x + a₂x² + a₃x³ +…………………… + anxⁿ के रूप में रहने वाले व्यंजक को बहुपद कहते हैं। जहाँ a, a₁, a₂, a₃ ……an अचर जैसे :- • 2x⁵ + 4xy³ + 6x² • 4y³+ y² + yz • 3x + x² – x⁴ • 5x⁶y + 6px²yx² – 8ax घात n वाले एक चर x वाले बहुपद को निम्न रूप में व्यक्त किया जाता हैं। P(x) = anxⁿ + an-1 xⁿ⁻¹ +…………+ a₁x + a₀ जहाँ an ≠ 0 और an, a n -1, a₁, a₀ = अचर बीजीय बहुपद (Algebraic Polynomial) चर एवं अचर बहुपद को शामिल करने से जो पद प्राप्त होता हैं उसे बीजीय बहुपद कहा जाता हैं। जैसे :- • x + 2 • x + 6 • y − 4 • 64 + a बीजीय बहुपद दो प्रकार के होते हैं। • अचर बहुपद • चर बहुपद 1. अचर बहुपद बहुपद का ऐसा पद जिसका मान हमेशा स्थिर रहता हैं वह अचर बहुपद कहलाता हैं। जैसे :- • 4x + 5, • 2x – 2, • 8y – 5, 2 और 5 अचर बहुपद है क्योंकि इनका मान सदैव स्थिर रहता हैं। Note :- • अचर बहुपद वास्तविक या काल्पनिक दोनों • अचर बहुपद का घात शून्य होता हैं। 2. चर बहुपद बहुपद का ऐसा पद जिसका मान हमेशा बदलता रहता हैं वह चर बहुपद कहलाता हैं। जैसे :- • x² + 4x + 2 • 2x² + 4x + 8 Note :- • चर बहुपद कभी भी काल्पनिक नही होता हैं। • चर बहुपद को x, y, z द्वारा सूचित किया जाता हैं। बहुपद की पहचान यदि किसी व्यंजक के सभी पदों का घात एक धनात्मक पूर्णाक होता हो, तो वह बहुपद कहलाता हैं। यदि कीसी व्यंजक का घात, भिन्न, ऋणात्मक पूर्णाक या जैसे :- • 2x...